解题思路：（1）根据a1、a3、a4成等比数列，建立等式关系，可求出a的值，从而求出数列{an}的通项公式；
2）根据题意数列{an}是等差数列可得其通项公式为an=2n+（a-2），进而得到bn的表达式，是一个关于n的二次式，结合二次函数的性质解决问题即可．
（1）因为a1、a3、a4成等比数列，所以a1•a4=a32，即a•（a+6）=（a+4）2，a=-8．
所以an=-8+（n-1）×2=2n-10…（4分）
（2）由2bn=（n+1）an，bn＝n2+
a
2n+
a−2
2=(n+
a
4)2−(
a−4
4)2，…（6分）
由题意得：[9/2≤−
a
4≤
11
2]，-22≤a≤-18…（10分）
（3）因为cn+1−cn＝(
1
2)n，
所以cn=c1+（c2-c1）+（c3-c2）+…+（cn-cn-1）=1+
1
2+(
1
2)2+…+(
1
2)n−2+(
1
2)n−1=
1−(
1
2)n
1−
1
2＝2−
1
2n−1…（13分）
所以f（n）=bn+cn=n2+
a
2n+
a−2
2+2−(
1
2)n−1，
则f(n+1)＝(n+1)2+
a
2(n+1)+
a−2
2+2−(
1
2)n−1，f(n+1)−f(n)＝[(n+1)2+
a
2(n+1)+
a−2
2+2−(
1
2)n]−[n2+
a
2n+
a−2
2+2−(
1
2)n−1]=
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的函数特性；等差数列的通项公式．
考点点评： 对于第二问解决此类问题的关键是熟悉等差数列的通项公式以及二次函数的性质，并且进行正确的运算也是关键，同时考查了数列的单调性求最值，属于中档题．