Question

设函数f（x）=ax-（1+a2）x2,其中a＞0,区间I={x|f（x）＞0} （Ⅰ）求I的长

Answer 1

(2) 长度 a/(1+a²)=1/(a+1/a)≤1/[2√(a·1/a)]=1/2

当 a=1/a 即 a=1 时长度最大为1/2,所以a/(1+a²)在(0,1)单调增,在(1,+∞)单调减,

而当k ∈(0,1)时,1-k＜1 而 1+k＞1,

所以a/(1+a²)在 a=1-k 或 a=1+k 取得最小值.

又 (1-k)/[1+(1-k)²]- (1+k)/[1+(1+k)²]= -3k³/{[1+(1-k)²]·[1+(1+k)²]}＜0

所以 I 长度的最小值为 (1-k)/[1+(1-k)²]