Question

如图，已知棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1⊥面ABCD，∠DAB=60°，AD=AA1=1，F为棱A

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，利用三角形中位线定理结合平行四边形的性质，得四边形MOAF是平行四边形，从而MF∥OA，所以MF∥平面ABCD；

（II）菱形的对角线互相垂直，得AC⊥BD，由BB₁⊥平面ABCD，得AC⊥BB₁，所以AC⊥平面BDD₁B₁，再结合AC∥MF，得AC⊥平面BDD₁B₁；

（III）过点B作BH⊥AD于H，可证出BH⊥平面BDD₁B₁，从而BH是三棱锥B-DD₁F的高，算出△DD₁F的面积并结合锥体体积公式，可得三棱锥D₁-BDF的体积．

（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，再连接OM，

∵△BD₁D中，OM是中位线，∴OM∥D₁D且OM=[1/2]D₁D，

∵矩形AA₁D₁D中，AF∥D₁D且AF=[1/2]D₁D，

∴AF∥OM且AF=OM，可得四边形MOAF是平行四边形，

∴MF∥OA，

∵MF⊈平面ABCD，OA⊆平面ABCD，

∴MF∥平面ABCD；------（4分）

（Ⅱ）AC⊥平面BDD₁B₁，证明如下

在底面菱形ABCD中，AC⊥BD，

又∵BB₁⊥平面ABCD，AC⊆平面ABCD

∴AC⊥BB₁，

∵BB₁、BD是平面BDD₁B₁内的相交直线

∴AC⊥平面BDD₁B₁，

∵AC∥MF，∴AC⊥平面BDD₁B₁，------------（8分）

（Ⅲ）过点B作BH⊥AD，垂足为H，

∵AA₁⊥平面ABCD，BH⊆平面ABCD

∴BH⊥AA₁，

∵AD、AA₁是平面BDD₁B₁内的相交直线

∴BH⊥平面BDD₁B₁，

在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=1，

∴BH=ABsin60°=

3

2，

因此，三棱锥D₁-BDF的体积V=V_B-D1DF=[1/3]S_△DD1F•BH=[1/3]×[1/2]×1×1×

3

2=

3

12--------（12分）

点评：

本题考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题在特殊四棱柱中，证明线面平行、线面垂直，并求三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．