Question

如图 内接于圆O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K 设圆O 的半径为R 求证AK^2+BK^2+CK^2+

Answer 1

设圆心O到AC的距离为a

圆心O到BD的距离为b

则

AK=√(R^2-a^2 ) +b

CK=√(R^2-a^2 )-b

BK=√(R^2-b^2 )+a

DK=√(R^2-b^2 )-a

AK²+BK²+CK²+DK²= R²-a²+ b²+2b√(R^2-a^2 )+ R²-a²+ b²-2b√(R^2-a^2 )+ R²-b²+ a²+2a√(R^2-b^2 )+ R²-b²+ a²-2a√(R^2-b^2 )=4R²

AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AK²+BK²+CK²+DK²)=8R²