Question

如图所示，多面体ABC-A1B1C1是由直棱柱被平面A1B1C1而成．其中AA1=4，BB1=2，CC1=3，AB与BC

Answer 1

解题思路：（1）A₁B₁上存在一点D₁，满足D₁为A₁B₁的中点，使得C₁D₁平行于平面ABC．根据线面平行的判定可以证明．

（2）过B₁点作AA₁，CC₁的垂线，垂足为E，F，连接EF，取EF的中点O，则△OC₁A₁为△C₁A₁，B₁的射影，分别求出面积，利用公式可求；

（3）多面体的体积为

V

ABC−

A

1

B

1

C

1

+

V

B

1

−EF

C

1

A

1

，分别计算，即可求得．

（1）A₁B₁上存在一点D₁，满足D₁为A₁B₁的中点，使得C₁D₁平行于平面ABC．

D₁为A₁B₁的中点，取AB 的中点D，连接DD₁，C₁D₁，

∵多面体ABC-A₁B₁C₁是由直棱柱被平面A₁B₁C₁而成

∴AA₁∥BB₁∥CC₁，

∵AA₁=4，BB₁=2，D₁为A₁B₁的中点，取AB 的中点D，

∴DD₁∥CC₁，且DD₁=CC₁=3

∴四边形CDD₁C₁为平行四边形

∴D₁C₁∥DC

∵D₁C₁⊄平面ABC，DC⊂平面ABC

∴C₁D₁∥平面ABC．

（2）过B₁点作AA₁，CC₁的垂线，垂足为E，F，连接EF，取EF的中点O，则B₁O⊥平面C₁A₁B₁，

∵AB与BC垂直，AB=BC=1

∴EB₁=FB₁=1，EF=

2

∵OB₁=

2

2，

∵AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3

∴C₁F=1

∴A₁B₁=

5，B₁C₁=

2，A₁C₁=

3

∴△A₁B₁C₁为直角三角形，

∴B₁C₁⊥A₁C₁，

∵B₁O⊥平面C₁A₁B₁，

∴OC₁⊥平面C₁A₁B₁，

∴∠OC₁B₁为二面角B₁-A₁C₁-A的平面角

∵sin∠OC₁B₁=

OB1

B1C1=

点评：

本题考点： 二面角的平面角及求法；组合几何体的面积、体积问题；直线与平面平行的判定．

考点点评： 本题重点考查线面平行，面面角，考查多面体的体积，解题的关键是用好线面平行的判定，确定射影面积，及分割法求多面体的体积，综合性强，难度大．