Question

k的值怎么由中心天体的质量决定

Answer 1

开普勒第三定律的证明

假设A,B分别为行星运动的近日点和远日点,以Va和Vb分别表示行星在该点的速度,由于速度沿轨道切线方向,可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直,则行星在此两点时对应的面积速度分别为

SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA……………………………………{1}

sB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB

根据开普勒第二定律,应有SA=SB,因此得

vB=[(a-c)/(a+c)]vA……………………………………………{2}

行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和,则当他经过近日点和远日点时,其机械能应分别为

EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)…………{3}

Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a+c)

根据机械能守恒,应有EA=EB,故得

1/2m[（vA）^2-(vB)^2]=GMm[1/(a-c)-1/(a+c)]……………………{4}

由{2}{4}两式可解得

（vA）^2={(a+c)GM}/{a(a-c)}………………………………{5}

（vB）^2={(a-c)GM}/{a(a+c)}

由{5}式和{1}式得面积速度为

SA=SB=S=（b/2）√[(GM)/a]

椭圆的面积为( 兀ab ) ,则得此行星运动周期为

T=（兀ab）/S=2兀a√a/(GM)…………………………{6}

将{6}式两边平方,便得

(a)^3/(T)^2=(GM)/4（兀）^2

令K=(a)^3/(T)^2=(GM)/4（兀）^2

(GM)/4（兀）^2是一个只与中心天体质量有关的变量

故K的值由中心天体的质量决定