解题思路：（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．
（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞
2ln
x
0
x
0
，只需要k大于h（x）=[2lnx/x]的最小值即可．
（3）分离参数，得到k＜[xlnx+3x−2/x−1]，构造函数，求函数的最小值即可．
（1）∵f′（x）=1+lnx，
∴f′（e）=1+lne=k-3
∴k=5，
（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），
则[1/2]ax02＞x0lnx0，
∴a＞
2lnx0
x0
设h（x）=[2lnx/x]
则h′（x）=
2(1−lnx)
x2，
当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）
∴h（x）在[1，e]上单调递增，
∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．
（3）由题意xlnx＞（k-3）x-k+2在x＞1时恒成立
即k＜[xlnx+3x−2/x−1]，
设F（x）=[xlnx+3x−2/x−1]，
∴F′（x）=[x−lnx−2
(x−1)2，
令m（x）=x-lnx-2，则m′（x）=1-
1/x]=[x−1/x]＞0在x＞1时恒成立
所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1-ln3＜0，m（4）=2-ln4＞0，
所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0
当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，
当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，
所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
F（x）min=F（x0）=
x0lnx0+3x0−2
x0−1=
x0(x0−2)+3x0−2
x0−1=x0+2∈（5，6）
故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．