有一个直角三角形,它的两边长是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根,且第三条边长为5,求k的值?

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  • 解题思路:利用因式分解法求出已知方程的解,得到直角三角形的两条边,然后分两种情况考虑:5为斜边时,利用勾股定理列出关系式,求出k的值;当5为直角边时,利用勾股定理列出关系式,求出k的值,综上,得到满足题意k的值.

    x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0,

    分解因式得:(x-k-1)(x-k-2)=0,

    可得x-k-1=0或x-k-2=0,

    解得:x1=k+1,x2=k+2,

    可知x2>x1,分两种情况考虑:

    ①当5为斜边时,由勾股定理得:(k+1)2+(k+2)2=25,

    解得:k1=2;k2=-5,

    ∵x1=k+1;x2=k+2都大于0,

    ∴k=2;

    ②当k+2为斜边时,由勾股定理得(k+1)2+25=(k+2)2

    解得:k3=11,

    综上所述,k=2或k=11.

    点评:

    本题考点: 解一元二次方程-因式分解法;勾股定理.

    考点点评: 此题考查了解一元二次方程-因式分解法,以及勾股定理,利用了分类讨论的思想,熟练掌握因式分解法是解本题的关键.