Question

已知连续函数f（x）满足条件f（x）=∫3x0f(t3)dt+e2x，求f（x）．

Answer 1

解题思路：首先对积分上限函数求导，得到关于f的一阶线性微分方程，然后利用通解公式进行计算．

方程f（x）=

∫3x0f(

t

3)dt+e^2x两边同时对 x 求导，可得

f′（x）=3f（x）+2e^2x，

即 f′（x）-3f（x）=2e^2x．

因为一阶微分方程 y′+P（x）y=Q（x） 的通解公式为

y=e-∫p（x）dx（∫Q（x）e∫p（x）dxdx+C），

故

f（x）=e^∫3dx（∫2e^2xe^∫-3dxdx+C）

=e^3x（∫2e^-xdx+C）

=e^3x（-2e^-x+C）

=Ce^3x-2e^2x．

因为 f（0）=e⁰=1，代入可得 C=3．

故

f（x）=3e^3x-2e^2x．

点评：

本题考点： 一阶线性微分方程的求解．

考点点评： 本题考察了积分上限函数的求导以及一阶线性微分方程的求导．需要注意的是，f（x） 的表达式暗含了初值条件 f（0）=1．