Question

矩阵等价与向量组等价A,B是n阶方阵,P,Q是n阶可逆矩阵. 若B=PAQ,那么A的行（列）向量组和B的行（列）向量组等

Answer 1

可逆矩阵不改变矩阵的秩,即有 r(B)=r(PAQ) = r(A),所以A的行(列)秩 = B的行(列)秩.

但 A,B 的行(列)向量组不一定可以互相线性表示,即不一定等价.

记住下面2个相关知识点:

1.若 B = PA,则A,B 的行向量组等价

若 B = AQ,则A,B 的列向量组等价

但若B=PAQ,就没有相应的结论了

2.若 B = PA,则B的列向量组与A的对应的列向量组有相同的线性关系

即初等行变换不改变列向量组的线性关系