Question

请概率方面的达人多多指点,利用概率论的思想方法证明如下不等式,其中a大于零.

Answer 1

为方便,首先只讨论积分:在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx 记其值为V.

为以下讨论方便,正方形区域: -a<=x<=a,-a<=y <=a记为D,

其外接圆区域: x^2 +y^2 <=2a^2 记为G.

则V^2 = {在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx }^2

={在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx }*{在区间[-a,a]积分e^((-y^2)/2)dy}

=在D上,e^[- (x^2+y^2)/2]dxdy二重积分

=在G上,e^[- (x^2+y^2)/2]dxdy二重积分

=在区间[0,2pi]积分{在区间[0,a*根号2]积分e^[- (r^2)/2]rdr}

= 2pi*{在区间[0,a*根号2]积分e^[- (r^2)/2]rdr

= 2pi*{函数- e^[(-r^2)/2]在r= a*根号2处的值 - 在r=0处的值}

=2pi*{- e^(-a^2)+1}=

=2pi*{1- e^(-a^2)}

即V^2< 2pi*{1- e^(-a^2)}

由于V>0,

故得:V从而,原式左端= (1/(根号(2pi))*V 即:原式左端 命题得到证明.