解题思路：（1）根据菱形的性质证△ABD是等边三角形即可；
（2）求出P Q走的距离，再根据等腰三角形性质即可推出答案；
（3）分为三种情况：根据相似，得到比例式，求出Q走的距离，即可求出答案．
（1）∵菱形ABCD，
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=24厘米．
答：BD=24厘米．
（2）12秒时，P走了4×12=48，
∵AB+BD=24+24=48，
∴P到D点，
同理Q到AB的中点上，
∵AD=BD，
∴MN⊥AB，
∴△AMN是直角三角形．
（3）有三种情况：如图（2）
∠ANM=∠EFB=90°，∠A=∠DBF=60°，DE=3×4=12=[1/2]AD，
根据相似三角形性质得：BF=[1/2]AN=6，
∴NB+BF=12+6=18，
∴a=18÷3=6，
同理：如图（1）求出a=2；
如图（3）a=12．
∴a的值是2或6或12．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定；菱形的性质．
考点点评： 本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，菱形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．