Question

如图一所示，边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AB、DD1的中点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）取CD₁的中点H，连接FH，HB，证明EF∥HB，利用线面平行的判定，可得EF∥平面BCD₁；

（Ⅱ）取BC中点I，连接GI，AI，证明AI⊥EF由四边形A₁AIG为平行四边形得A₁G∥AI，即可得到结论；

（Ⅲ）分别计算体积，即可得到结论．

（Ⅰ）证明：取CD₁的中点H，连接FH，HB，

∵F、H分别是DD₁、CD₁的中点，

∴FH∥DC且FH=[1/2]DC，

∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥DC且AB=DC，

又E为AB的中点，∴FH∥EB且FH=EB，

∴四边形FHBE为平行四边形，∴EF∥HB，

又∵HB⊂平面BCD₁，EF⊄平面BCD₁，

∴EF∥平面BCD₁；

（Ⅱ）证明：取BC中点I，连接GI，AI，

在正方形ABCD中，E，I分别为AB，BC的中点，

∴DE⊥AI，

∵DD₁⊥平面ABCD，AI⊂平面ABCD，

∴AI⊥DF，

又DF∩DE=D，

∴AI⊥平面DEF，又EF⊂平面DEF，

∴AI⊥EF

由四边形A₁AIG为平行四边形得A₁G∥AI，

∴A₁G⊥EF；

（Ⅲ）如图二所示，该几何体为有一条侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱锥，即四棱锥的高为1，底面是边长为1的正方形，

∴V_四棱锥=[1/3×1×1×1=

1

3]，

又VABCD−A1B1C1D1=1，

∴

V1

V2=[1/3]．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题考查线面平行，考查垂直，考查体积的计算，属于中档题．