Question

已知函数f（x）=sin2x+acos 2 x（a∈R，a为常数），且 π 4 是函数y=f（x）的零点．

Answer 1

（1）由于

π

4 是函数y=f（x）的零点，即x=

π

4 是方程f（x）=0的解，

从而f（

π

4 ）=sin

π

2 +acos ²

π

4 =0，

则1+

1

2 a=0，解得a=-2．

所以f（x）=sin2x-2cos ²x=sin2x-cos2x-1，

则f（x）=

2 sin（2x-

π

4 ）-1，

所以函数f（x）的最小正周期为π．

（2）由x∈[0，

π

2 ]，得2x-

π

4 ∈[-

π

4 ，

3π

4 ]，

则sin（2x-

π

4 ）∈[-

2

2 ，1]，

则-1≤

2 sin（2x-

π

4 ）≤

2 ，

-2≤

2 sin（2x-

π

4 ）-1≤

2 -1，

∴值域为[-2，

2 -1]．

当2x-

π

4 =2kπ+

π

2 （k∈Z），

即x=kπ+

3

8 π时，

f（x）有最大值，又x∈[0，

π

2 ]，

故k=0时，x=

3

8 π，

f（x）有最大值

2 -1．