(2013•湖南模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)+f(-x)=0,当x>2,f(x)单调递增,如果x1+x

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  • 解题思路:题设中条件众多,欲判断f(x1)+f(x2)的符号,有两种可能一是-f(x1)>f(x2),一是-f(x1)<f(x2),又f(-x)=-f(x+4),令x=-x1,即得f(x1)=-f(4-x1),由此问题转化为比较f(4-x1)与f(x2)的大小比较,由题设条件易证.

    设x1<x2,由(x1-2)(x2-2)<0,得x1<2,x2>2.

    再由x1+x2<4得,4-x1>x2>2,因为x>2时,f(x)单调递增,所以f(4-x1)>f(x2).

    又f(-x)=-f(x+4),取x=-x1,可得 f(x1)=-f(4-x1),所以-f(x1)>f(x2),

    即f(x1)+f(x2)<0,

    故选A.

    点评:

    本题考点: 函数的周期性;函数单调性的性质;函数的值.

    考点点评: 本题考点是抽象函数及其应用,考查根据抽象函数的性质进行灵活变形,转化证明的能力,本题对灵活转化的能力要求较高,依据条件灵活转化是一种数学素养较高的表现,属于中档题.