1,设四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点.O1,O2,O3,O4分别是△OAB,△OBC,△OCD,△ODA的外心.P是对边AB,CD之垂直平分线的交点；Q是对边BC,AD之垂直平分线的交点.则O1,Q,O3共线的充要条件是O2,P,O4共线.
2．设AD、BE、CF为△ABC的三条高,以BC为直径的圆与AD交于G,过G的直径的另一端点为K,若EK、FK与BC的交点为M、N,求证：BN＝CM.
3．设D为锐角△ABC内一点,使得∠ADB＝∠ACB+900,并有AC•BD＝AD•BC,求证：AB•CD= √2AC•BD.
4.四边形ABCD的内切圆、外接圆都存在,则内切圆四切点连接成的四边形对角线互相垂直.
5.圆内接四边形ABCD中,BC＝CD,E、F分别为AB、AD上的一点,EF交AC于G,若EF‖BD求证：∠GBD＝∠FCD.
6．两⊙O、⊙O1相交于A、B,过A作两圆的割线CAD,若CO、DO1的交点为E,由E作CD的垂线EF与BA的延长线相交于点F,则C、E、B、D、F五点共圆.
7.设正△ABC的内切圆I切三边BC、AC、AB于D、E、F,在劣弧EF上有一点P,过P作PR⊥AB,PN⊥AC,PM⊥BC,R、N、M分别为垂足,求证：√(PM)= √(PK)+ √(PN).
8．过四边形ABCD的对角线 BD的中点E作EFG‖AC,交AB、BC分别于F、G,则AG平分此四边形的面积.
9.若⊙O的外切四边形ABCD的对角线AC的中点为E,则S△BOE=S△DOE.
10.设等腰△ABC的底边BC中点为D,由C、D向过A的任意直线做垂线CE、DF,E、F为垂足,则AC•ED＝DC•EF+AD•DF.