已知a大于零,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.(1)求切

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  • (1)求导:f'(x)=2ax-2+1/(x+1),切线的斜率与导数相同.

    f(0)=1,f'(0)=-1,

    因此L过点(0,1),斜率是-1,因此L的方程是y-1=-(x-0),化简得y=-x+1.

    (2)切线l与f(x)有且仅有一个公共点

    等价于

    函数g(x)=f(x)-(-x+1)=ax^2-x+ln(x+1)=0只有一个根,易得g(0)=0

    g(x)的定义域为(-1,正无穷)

    g′(x)=2ax-1+1/(x+1)=2ax(x+1-1/2a)/(x+1)

    当1/2a-1<0,g(x)在(-,1/2a-1)单调递增,在(1/2a-1,0)上单调递减,显然当x趋于-1,y趋向负无穷,g(1/2a-1)>g(0),所以(-1,1/2a-1)区间内有一根,加上已有0这个根,就超过一个根了,所以1/2a-1<0不成立

    当1/2a-1>0,g(x)在(-1,0)单调递增,在(0,1/2a-1)单调递减,

    有g(1/2a-1)<g(0)=0,但是当x→正无穷是,g(x)>0,所以g(x)在(1/2a-1,正无穷)上还有一根,所以1/2a-1>0不成立.

    当1/2a-1=0时,g(x)在(-1,正无穷)上单调递增,满足题意

    所以a=1/2