∵在△BDC中,点E、G分别是BC、BD的中点
∴EG∥DC,且EG=1/2DC
∵在△ABC中,点E、H分别是BC、AC的中点
∴EH∥AB,且EH=1/2AB
∵在△ABD中,点F、G分别是AD、BD的中点
∴FG∥AB,且FG=1/2AB
∵在△BDC中,点F、H分别是AD、AC的中点
∴FH∥DC,且FH=1/2DC
由上得：FH∥DC,EG∥DC,EH∥AB,FG∥AB
∴FH∥EG∥DC,EH∥FG∥AB
∴由平行四边形法则,得到：四边形ABCD是平行四边形
又由上得：EG=1/2DC,FH=1/2DC,FG=1/2AB,EH=1/2AB
∴EG=FH=1/2DC,FG=EH=1/2AB
又∵AB=CD
∴EG=FH=1/2DC=1/2AB=FG=EH
又∵EG=FH=FG=EH=1/2DC=1/2AB且FH∥EG∥DC,EH∥FG∥AB（四边形ABCD是平行四边形）
∴由菱形的定义,根据题意,得到：在满足题意的条件下,四边形ABCD是在任何时候都是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴由矩形的定义,得到四边形ABCD中有一个角是90°,则四边形ABCD便是矩形
令∠GEH=90°
∵EG∥DC,EH∥AB
∴∠GEH=∠DCB,∠CEH=∠CBD
又∵∠GEH+∠GEB+∠CEH=180°
∴∠DCB+∠CBD+∠GEH=180°
∵∠GEH=90°
∴∠DCB+∠CBD=180°-∠GEH=180°-90°=90°
∴由补角定理得AB∥DC
且,由垂直定理得AB⊥BC,DC⊥BC
综上所述,当满足条件AB⊥BC,DC⊥BC时,四边形ABCD是矩形