Question

设@为n维列向量,且@的转置乘以@等于1,矩阵A=E-@乘以@的转置,证明行列式IAI=0

Answer 1

设α为n维列向量,且α'α=1,矩阵A=E-αα',证明行列式|A|=0.

证明: A^2 = (E-αα')(E-αα')

= E-2αα'+αα'αα' = E-αα'

= A

所以 A(A-E)=0

因为 A-E=-αα', 且α'α=1

所以 α 是一个非零向量,

故 A-E=-αα' 是一个非零的矩阵.

再由A(A-E)=0知A-E的列向量都是 AX=0的解

所以AX=0有非零解.

所以 |A|=0.

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