（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中,得：
{a-b+c=09a+3b+c=0,
则{b=-2ac=-3a；
∴y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a；
故D（1,-4a）,C（0,-3a）．
（2）由于B（3,0）,C（0,-3a）,D（1,-4a）,则：
BD2=16a2+4,BC2=9a2+9,CD2=a2+1；
若∠BCD=90°,则：BD2=BC2+CD2,即：
16a2+4=9a2+9+a2+1,
解得a=-1（正值舍去）,
故抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（3）易知C（0,3）,D（1,4）；
而B（3,0）,
则直线BD：y=-2x+6；
①∠BDQ=90°,可设直线DQ：y=12x+m,则有：
12+m=4,m=72；
即y=12x+72；
联立抛物线的解析式有：
{y=12x+72y=-x2+2x+3,
解得{x=12y=154,{x=1y=4；
∴点Q（12,154）；
②∠DBQ=90°,同理可设直线BQ：y=12x+n,
则：32+n=0,n=-32,
即y=12x-32；
联立抛物线的解析式有：
{y=12x-32y=-x2+2x+3,
解得{x=-32y=-94,{x=1y=4；
∴点Q（-32,-94）；
综上可知,存在符合条的Q点,且坐标为：Q1(-32,-94),Q2(12,154)．