Question

给出下列四个结论：①命题“∃x∈R，x2-x＞0”的否定是“∀x∈R，x2-x≤0”；②命题“若am2＜bm2，则a＜b

Answer 1

解题思路：对于①，写出命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定为“∀x∈R，x²-x≤0”，再判断即可；

对于②，写出命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命，举例分析判断即可；

对于③，利用充分必要条件的概念可判断③；

对于④，依题意，可知y=f（x）为R上的奇函数，y=g（x）为R上的偶函数，且奇函数y=f（x）为R上的增函数，偶函数y=g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（-∞，0）上单调递减，从而可判断④．

对于①，命题“∃x∈R，x²-x＞0”的否定是“∀x∈R，x²-x≤0”，故①正确；

对于②，命题“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am²＜bm²”错误，当m=0时，am²=bm²=0，故②错误；

对于③，若对任意n∈N^*，a_n+a_n+2=2a_n+1，则a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，数列{a_n}为等差数列，充分性成立；

反之，若数列{a_n}为等差数列，即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，则a_n+a_n+2=2a_n+1，即必要性成立，

故数列{a_n}为等差数列的充要条件是：对任意n∈N^*，a_n+a_n+2=2a_n+1，③正确；

对于④，对于任意实数x，有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），则y=f（x）为R上的奇函数，y=g（x）为R上的偶函数，

又当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，

所以，奇函数y=f（x）为R上的增函数，偶函数y=g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（-∞，0）上单调递减，

所以，当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0，

所以，当x＜0时，f′（x）＞g′（x），故④正确．

综上所述，其中正确结论共有①③④，3个，

故答案为：3．

点评：

本题考点： 命题的真假判断与应用．

考点点评： 本题考查命题的真假判断与应用，综合考查特称命题的否定，四种命题的关系及真假判断，考查充分必要条件的判断，对于④的判断是难点，考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，属于难题．