（1）∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，
在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°，
∴∠BCP+∠BCA=90°，
∴直线CP是⊙O的切线．
（2）如下图，作BD⊥AC于点D，
∵PC⊥AC
∴BD∥PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2
，sin∠BCP=
，
∴sin∠BCP=sin∠DBC=
=
=
，
解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4，
∴点B到AC的距离为4．
（3）如下图，连接AN，
在Rt△ACN中，AC=
=5，
又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3．
∵BD∥CP，∴
，∴CP=
．
在Rt△ACP中，AP=
=
，AC+CP+AP=5+
+
=20，
∴△ACP的周长为20．