Question

yy"-(y')^2=y^4,y(0)=1,y'(0)=0求微分方程.答案y=secx

Answer 1

yy"-(y')^2=y^4

设y'=p y''= pdp/dy,代入得：

pydp/dy-p^2=y^4

pdp/dy-p^2/y=y^3

令z=p^2,z'=2pp'

z'-2z/y=2y^3

由一阶线性微分方程通解公式：

z=y^2(C+∫2y^3*y^(-2)dy)=y^2(C+y^2)

p^2=y^2(C+y^2),当x=0时,y=1,p=y'=0,求得：C=-1

p=y√(y^2-1)

y'=y√(y^2-1)

dy/(y√(y^2-1))=dx ,两边积分得：

arcsecy=x+C,

y=sec(x+C),由y(0)=1,C=0

y=secx