Question

设定义域为R的函数f(x)＝−2x+a2x+1+b（a，b为实数）．

Answer 1

解题思路：（1）利用函数是奇函数，得到f（0）=0，从而建立方程可解a，b．

（2）利用函数的奇偶性和指数函数的单调性，求出f（x）的最大值，和函数y=c²-3c+3最小值之间的关系，进行证明即可．

（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）=0，

即[−1+a/2+b]=0，

∴a=1，

∴f(x)＝

−2x+1

2x+1+b，

∵f（1）=-f（-1），

∴[1−2/4+b＝−

1−

1

2

1+b]，

∴b=2．

（2）f（x）=

1−2x

2x+1+2=[1/2•

1−2x

1+2x]=-[1/2]+[1

2x+1，

∵2^x＞0，

∴2^x+1＞1，0＜

1

2x+1＜1，

从而-

1/2]＜f（x）＜[1/2]；

而c²-3c+3=（c-[3/2]）²+[3/4]≥[3/4]对任何实数c成立，

∴对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数性质的综合应用，考查学生的运算和推理能力．