Question

如图 ,f为抛物线y^2=2px的焦点,a(4,2)为抛物线内一定点,p为抛物线上一动点且pa+pf最小值为8,如果过f

Answer 1

y^2=2px

焦点为F(p/2,0),准线为：x=-p/2

P为抛物线上的一动点,过P作PQ//x轴交准线于Q

则：PF=PQ

所以,PA+PF=PA+PQ≥AQ

所以,A、P、Q同一直线时,PA+PF的值最小

最小值=A的横坐标-Q的横坐标=4+p/2

所以,4+p/2=8

p=8

所以,抛物线方程为：y^2=16x,焦点F(4,0).

设过F的直线方程是y=k(x-4),代入得到:k^2(x^2-8x+16)-16x=0

即有k^2x^2-(8k^2+16)x+16k^2=0

MN=x1+x2+p=(8k^2+16)/k^2+8=8+16/k^2+8>=32

16/k^2>=16

k^2