解题思路：（1）由Sn与-3Sn+1的等差中项是-
3/2]，可得Sn-3Sn+1=-3，即Sn+1=[1/3]Sn+1，进而可得
S
n+1
−
3
2
S
n
−
3
2
=[1/3]，从而得到数列{Sn-[3/2]}为等比数列；
（2）由（1）中结合可得Sn=[3/2]-[1/2]×（[1/3]）n-1，根据n≥2时，an=Sn-Sn-1，n=1时，an=Sn，可求出数列{an}的通项公式；
（3）根据对数函数的图象和性质可得Sn=[3/2]-[1/2]×（[1/3]）n-1是单调递增数列，若不等式k≤Sn恒成立，仅须k≤Sn的最小值S1即可．
（1）因为Sn与-3Sn+1的等差中项是-[3/2]，
所以Sn-3Sn+1=-3，即Sn+1=[1/3]Sn+1，…（2分）
由此得Sn+1-[3/2]=[1/3]（Sn-[3/2]），…（3分）
即
Sn+1−
3
2
Sn−
3
2=[1/3]，…（4分）
又∵S1-[3/2]=a1-[3/2]=-[1/2]，
所以数列{Sn-[3/2]}是以-[1/2]为首项，[1/3]为公比的等比数列．…（5分）
（2）由（1）得Sn-[3/2]=-[1/2]×（[1/3]）n-1，即Sn=[3/2]-[1/2]×（[1/3]）n-1，…（6分）
所以，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=[[3/2]-[1/2]×（[1/3]）n-1]-[[3/2]-[1/2]×（[1/3]）n-2]=[1
3n−1…（8分）
又n=a时，a1=1也适合上
点评：
本题考点： 数列的求和；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查的知识点是等比数列的确定，数列的通项公式，恒成立问题，数列的单调性，是数列问题的综合应用，难度较大．
1年前
3
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