Question

对任意实数λ，直线l1：x+λy-m-λn=0与圆C：x2+y2=r2总相交于两不同点，则直线l2：mx+ny=r2与圆

Answer 1

解题思路：由直线l₁的方程可得它经过定点（m，n），结合条件可得点（m，n）在圆C的内部，故有 m²+n²＜r²．再求得点C到直线l₂的距离为d＞半径r，

可得直线l₂与圆C的位置关系是相离．

由直线l₁：x+λy-m-λn=0 即 （x-m）+λ（y-n）=0，显然直线l₁：经过定点（m，n）．

再根据l₁与圆C：x²+y²=r²总相交于两不同点，可得点（m，n）在圆C的内部，∴m²+n²＜r²．

再根据点C到直线l₂的距离为d=

|0+0−r2|

m2+n2=

r2

m2+n2＞

r2

r=r，

故直线l₂：mx+ny=r²与圆C的位置关系是 相离，

故答案为 相离．

点评：

本题考点： 直线与圆相交的性质．

考点点评： 本题主要考查直线过定点问题，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的判断方法，属于中档题．