Question

（2014•江西样卷）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）．若抛物线经过点A，则记为yA；若经过点A、B，则记为yA

Answer 1

解题思路：（1）把A，B的坐标的抛物线的解析式可得方程组无解则y_AB不存在．

（2）不存在同时经过A、B、C三点的抛物线，把A（1，1）、B（2，2）、C（3，3）三点的坐标分别代入y=ax²+bx+c中，通过解方程组可知：a=0，显然与a≠0不相符，故y_ABC不存在．

（3）显然抛物线不能同时经过共线的三点及同在y轴或与y轴平行的两点，故经过经过点O、A、B、D、E和F中的三点的抛物线共有4条，设抛物线y_DFA的解析式为y=ax²+bx+c，则据条件可得到a，b，c的值，求出抛物线的解析式，再用配方法即可求出抛物线的顶点坐标．

（1）把x=2，y=1及x=2，y=4分别代入y=ax²+bx+c中，得

4a+2b+c＝1

4a+2b+c＝4此方程组无解，

说明经过A、B两点的抛物线不存在，即y_AB不存在．

（2）不存在同时经过A、B、C三点的抛物线．理由如下：

同样，把A（1，1）、B（2，2）、C（3，3）三点的坐标分别代入y=ax²+bx+c中，

得

a+b+c①

4a+2b+c②

9a+3b+c③，

②-①得，3a+b④；

③-②得，5a+b⑤．

∴⑤-④得，a=0，显然与a≠0不相符，故y_ABC不存在．

（3）∵A（8，0）、B（0，6），

∴OA=8，OB=6．

连接DF、EF，

∵D、E和F分别是△OAB各边的中点，

∴DF＝

1

2OA＝4，EF＝

1

2OB＝3．即D（0，3）、E（4，0）、F（4，3）．

显然抛物线不能同时经过共线的三点及同在y轴或与y轴平行的两点，故经过经过点O、A、B、D、E和F中的三点的抛物线共有4条，

即y_FOA、y_DEA、y_BEA、y_DFA．其中开口向下的有y_FOA、y_DFA．

抛物线y_FOA与x轴交于O、A两点，且EF垂直平分OA，

∴抛物线y_FOA的对称轴为直线EF，

∴顶点为点F，故顶点坐标为（4，3）．

设抛物线y_DFA的解析式为y=ax²+bx+c，则据条件可得：

64a+8b+c＝0

16a+4b+c＝3

c＝3，解得a＝−

3

32，b＝

3

8，c＝3．

∴

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质、三角形中位线定理的运用等重要知识点，综合性强，能力要求极高．同时考查学生计算能力，数形结合的数学思想方法．