Question

ABC三条高分别为ha.hb.hc,r为内切圆半径,且ha+hb+hc=9r求证:该三角形为等边三角形

Answer 1

设边长分别为a,b,c.三角形面积为S/2.则a*ha=b*hb=c*hc=S=r*(a+b+c).

又r=(ha+hb+hc)/9.所以,r*(a+b+c)=(ha+hb+hc)*(a+b*c)/9>=3*sqrt3(ha*hb*hc)*3*sqrt3(a*b*c)/9=sqrt3((a*ha)*(b*hb)*(c*hc))=sqrt3(S^3)=S.而等号成立的条件为ha=hb=hc,且a=b=c.故三角形为等边三角形.

三角形的面积=内切圆半径*周长/2.