证明起来可能有些费劲,我给你一个能理解的说法吧~
已知x1~xn都是非负数,且x1+x2+……+xn为定值.我给你说明和一定时,只有都相等,积才最大.
一、假设x1~xn已经有了各自的取值,且这n个数里,存在两个数,y和z,满足y≠z,
那么剩下的n-2个数的取值先不变,则其乘积不变,从而：
必然可以通过调整y和z,使得yz的乘积更大,也就是说n个数的乘积更大.
二、也就是说,如果n个数的乘积能取最大,那么这时n个数一定是相等的.否则,可以找到另一组数使得乘积更大.
三、乘积的确能取到最大值.所以n个数相等.
至于积一定,必须是n个数相等才会有最小值,也是一样的理解方式：如果n个数不等,那么可以找到另一组数,使得这n个数的和更小.
ps：这种方法叫磨光变换,竞赛中经常用到.