Question

已知空间直角坐标系O-xyz中的点A（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点

Answer 1

解题思路：（1）通过平面α过点A且与直线OA垂直，利用勾股定理即可求点P的坐标满足的条件；

（2）求出平面α与坐标轴的交点坐标，即可利用棱锥的体积公式求出所求几何体体积．

（1）因为OA⊥α，所以OA⊥AP，

由勾股定理可得：|OA|²+|AP|²=|OP|²，

即3+（x-1）²+（y-1）²+（z-1）²=x²+y²+z²，化简得：x+y+z=3．

（2）设平面α与x轴、y轴、z轴的点分别为M、N、H，

则M（3，0，0）、N（0，3，0）、H（0，0，3）．

所以|MN|=|NH|=|MH|=3

2，

所以等边三角形MNH的面积为：

3

4×(3

2)2=

9

3

2．

又|OA|=

3，故三棱锥0-MNH的体积为：

1

3×

9

3

2×

3=[9/2]．

点评：

本题考点： 空间两点间的距离公式；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查空间想象能力，计算能力，转化思想，空间两点距离公式的应用．