Question

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1．

Answer 1

解题思路：（1）通过证明A₁C₁⊥BB₁，A₁C₁⊥D₁B₁，D₁B₁∩BB₁=B ₁，即可证明A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．然后证明平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D；

（2）三棱锥B₁-A₁C₁B的体积转化为

V

A

1

−

C

1

B

1

B

求解即可；

（3）通过A₁A∥B₁B说明异面直线BC₁与AA₁所成角就是∠BB₁C₁，然后求解即可．

证：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，

∵A₁C₁⊂平面-A₁B₁C₁D₁，∴BB₁⊥A₁C₁即A₁C₁⊥BB₁，

又∵A₁C₁⊥D₁B₁，D₁B₁∩BB₁=B ₁，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，

∵A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁，平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D．

（2）三棱锥B₁-A₁C₁B的体积转化为：VA1−C1B1B，

VA1−C1B1B=[1/3×(

1

2×1×1)× 1=

1

6]．

（3）∵A₁A∥B₁B，∴∠BB₁C₁就是异面直线BC₁与AA₁所成角．

易知△BB₁C₁为等腰三角形，∴∠BB₁C₁=45°．

即异面直线BC₁与AA₁所成角的大小为45°．

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．

考点点评： 本题考查直线与平面的垂直，异面直线所成的角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．