假设4n+1型的素数只有有限个,以p1,p2,...pk记之．
考虑数P=4*p1^2*p2^2*...*pk^2+1=x^2+1,
若P=4k+1是素数,则P明显大于任一pi,i=1,2,...,k,此乃一矛盾；
若P是合数,则不妨设p是其一质因子,知p是奇数,且p不同于pi,i=1,2,...,k．
又因为P=x^2+1,所以x^2≡-1(modp),x^(p-1)≡(-1)^[(p-1)/2](modp)；而由费马小定理知,x^(p-1)≡ 1(modp)．
所以,(-1)^[(p-1)/2]=1,故p是4n+1型素数,也是矛盾的.
其实你问的3个问题就是狄利克莱定理的特殊形式.
狄利克莱定理：对于任意互质的正整数a,d,有无限多个质数的形式如a + nd,其中n为正整数.