解题思路:(1)确定
A(
y
1
2
4
,
y
1
),B(
y
2
2
4
,
y
2
)
,可得kPA=
y
1
+2
y
1
2
4
−1
=
4(
y
1
+2)
y
1
2
−4
=
4
y
1
−2
,
k
PB
=
4
y
2
−2
,利用kPA=-kPB,即可求得y1+y2的值;
(2)由(1)知
k
AB
=
y
2
−
y
1
y
2
2
4
−
y
1
2
4
=1
,可得AB的方程
x−y+
y
1
−
y
1
2
4
=0
,计算P到AB的距离,可得S△PAB的面积,再利用换元法,构造函数,即可求得S△PAB的最大值.
(1)因为A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线C:y2=4x上,
所以A(
y12
4,y1),B(
y22
4,y2),kPA=
y1+2
y12
4−1=
4(y1+2)
y12−4=
4
y1−2,
同理kPB=
4
y2−2,依题有kPA=-kPB,
所以[4
y1−2=−
4
y2−2,所以y1+y2=4.(4分)
(2)由(1)知kAB=
y2−y1
y22/4−
y12
4=1,
设AB的方程为y−y1=x−
y12
4],即x−y+y1−
y12
4=0,P到AB的距离为d=
|3+y1−
y12
4|
2,AB=
2|
y12
4−
y22
4|=
2|y1−y2|=2
2|2−y1|,
所以
S△PAB=
1
2×
|3+y1−
y12
4|
2×2
2|2−y1|
=
1
4|y12−4y1−12||y1−2|=
1
4|(y1−2)2−16||y1−2|,(8分)
令y1-2=t,由y1+y2=4,y1≥0,y2≥0,可知-2≤t≤2.S△PAB=
1
4|t3−16t|,
因为S△PAB=
1
4|t3−16t|为偶函数,只考虑0≤t≤2的情况,
记f(t)=|t3-16t|=16t-t3,f′(t)=16-3t2>0,故f(t)在[0,2]是单调增函数,
故f(t)的最大值为f(2)=24,
所以S△PAB的最大值为6.(10分)
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.
考点点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查三角形面积的计算,考查换元法,考查导数知识的运用,构建函数是关键.