(2014•商丘三模)如图,过抛物线C:y2=4x上一点P(1,-2)作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于点A(x1

1个回答

  • 解题思路:(1)确定

    A(

    y

    1

    2

    4

    y

    1

    ),B(

    y

    2

    2

    4

    y

    2

    )

    ,可得kPA=

    y

    1

    +2

    y

    1

    2

    4

    −1

    4(

    y

    1

    +2)

    y

    1

    2

    −4

    4

    y

    1

    −2

    k

    PB

    4

    y

    2

    −2

    ,利用kPA=-kPB,即可求得y1+y2的值;

    (2)由(1)知

    k

    AB

    y

    2

    y

    1

    y

    2

    2

    4

    y

    1

    2

    4

    =1

    ,可得AB的方程

    x−y+

    y

    1

    y

    1

    2

    4

    =0

    ,计算P到AB的距离,可得S△PAB的面积,再利用换元法,构造函数,即可求得S△PAB的最大值.

    (1)因为A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线C:y2=4x上,

    所以A(

    y12

    4,y1),B(

    y22

    4,y2),kPA=

    y1+2

    y12

    4−1=

    4(y1+2)

    y12−4=

    4

    y1−2,

    同理kPB=

    4

    y2−2,依题有kPA=-kPB

    所以[4

    y1−2=−

    4

    y2−2,所以y1+y2=4.(4分)

    (2)由(1)知kAB=

    y2−y1

    y22/4−

    y12

    4=1,

    设AB的方程为y−y1=x−

    y12

    4],即x−y+y1−

    y12

    4=0,P到AB的距离为d=

    |3+y1−

    y12

    4|

    2,AB=

    2|

    y12

    4−

    y22

    4|=

    2|y1−y2|=2

    2|2−y1|,

    所以

    S△PAB=

    1

    |3+y1−

    y12

    4|

    2×2

    2|2−y1|

    =

    1

    4|y12−4y1−12||y1−2|=

    1

    4|(y1−2)2−16||y1−2|,(8分)

    令y1-2=t,由y1+y2=4,y1≥0,y2≥0,可知-2≤t≤2.S△PAB=

    1

    4|t3−16t|,

    因为S△PAB=

    1

    4|t3−16t|为偶函数,只考虑0≤t≤2的情况,

    记f(t)=|t3-16t|=16t-t3,f′(t)=16-3t2>0,故f(t)在[0,2]是单调增函数,

    故f(t)的最大值为f(2)=24,

    所以S△PAB的最大值为6.(10分)

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查三角形面积的计算,考查换元法,考查导数知识的运用,构建函数是关键.