Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}为首项为1，公差为1的等差数列

Answer 1

解题思路：（1）先利用a_n是S_n与2的等差中项把1代入即可求a₁，利用S_n=2a_n-2，可得S_n-1=2a_n-1-2，两式作差即可求数列{a_n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出a_n；对于数列{b_n}，直接利用等差数列通项公式即可求出b_n．

（2）先把所求结论代入求出数列{c_n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．

（1）∵a_n是S_n与2的等差中项，

∴S_n=2a_n-2，∴a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．

∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，

又∵S_n-S_n-1=a_n，n≥2，

∴a_n=2a_n-2a_n-1，

∵a_n≠0，

∴

an

an−1=2（n≥2），即数列{a_n}是等比数列，

∵a₁=2，∴a_n=2ⁿ．

∵数列{b_n}为首项为1，公差为1的等差数列，

∴b_n=1+（n-1）=n．

（2）∵an＝2n，b_n=n，

∴c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ．

∴数列{c_n}的前n项和：

T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，①

2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②

①-②，得-T_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹

=

2(1−2n)

1−2-n×2ⁿ⁺¹

=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，

∴T_n=n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差数列的通项公式．

考点点评： 本题考查数列通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，要熟练掌握数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．