(1)因为f(x)=x+
2 a 2
x -alnx(x>0) ,所以 f′(x)=1-
2 a 2
x 2 -
a
x =
x 2 -ax-2 a 2
x 2 =
(x+a)(x-2a)
x 2 ,
①若a=0,f(x)=x,f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②若a>0,当x∈(0,2a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2a)上单调递减;当x∈(2a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2a,+∞)上单调递增.
③若a<0,当x∈(0,-a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,-a)上单调递减;当x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上单调递增.
综上:①当a=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a>0时,f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增.
③当a<0时,f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.
(2)当a=1时,f(x)=x+
2
x -lnx(x>0) .
由(1)知,若a=1,当x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增,
所以f(x) min=f(2)=3-ln2.
因为对任意的x 1,x 2∈[1,e],都有f(x 1)≥g(x 2)成立,
所以问题等价于对于任意x∈[1,e],f(x) min≥g(x)恒成立,
即3-ln2≥x 2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1,e]恒成立,
即2b ≥x+
1
x 对于任意x∈[1,e]恒成立,
因为函数y= x+
1
x 的导数 y′=1-
1
x 2 ≥0 在[1,e]上恒成立,
所以函数y=x+
1
x 在[1,e]上单调递增,所以 (x+
1
x ) max =e+
1
e ,
所以2b ≥e+
1
e ,所以b ≥
e
2 +
1
2e ,
故实数b的取值范围为[
e
2 +
1
2e ,+∞ ).