已知函数 f(x)=x+ 2 a 2 x -alnx (a∈R) .

1个回答

  • (1)因为f(x)=x+

    2 a 2

    x -alnx(x>0) ,所以 f′(x)=1-

    2 a 2

    x 2 -

    a

    x =

    x 2 -ax-2 a 2

    x 2 =

    (x+a)(x-2a)

    x 2 ,

    ①若a=0,f(x)=x,f(x)在(0,+∞)上单调递减.

    ②若a>0,当x∈(0,2a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,2a)上单调递减;当x∈(2a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2a,+∞)上单调递增.

    ③若a<0,当x∈(0,-a)时,f′(x)<0,f(x)在(0,-a)上单调递减;当x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(-a,+∞)上单调递增.

    综上:①当a=0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.

    ②当a>0时,f(x)在(0,2a)上单调递减,在(2a,+∞)上单调递增.

    ③当a<0时,f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+∞)上单调递增.

    (2)当a=1时,f(x)=x+

    2

    x -lnx(x>0) .

    由(1)知,若a=1,当x∈(0,2)时,f(x)单调递减,当x∈(2,+∞)时,f(x)单调递增,

    所以f(x) min=f(2)=3-ln2.

    因为对任意的x 1,x 2∈[1,e],都有f(x 1)≥g(x 2)成立,

    所以问题等价于对于任意x∈[1,e],f(x) min≥g(x)恒成立,

    即3-ln2≥x 2-2bx+4-ln2对于任意x∈[1,e]恒成立,

    即2b ≥x+

    1

    x 对于任意x∈[1,e]恒成立,

    因为函数y= x+

    1

    x 的导数 y′=1-

    1

    x 2 ≥0 在[1,e]上恒成立,

    所以函数y=x+

    1

    x 在[1,e]上单调递增,所以 (x+

    1

    x ) max =e+

    1

    e ,

    所以2b ≥e+

    1

    e ,所以b ≥

    e

    2 +

    1

    2e ,

    故实数b的取值范围为[

    e

    2 +

    1

    2e ,+∞ ).