Question

已知a，b∈R且a≠2，定义在区间（-b，b）内的函数f(x)=lg1+ax1+2x是奇函数．

Answer 1

解题思路：（1）由题意可知，f（-x）=-f（x）对定义域内的任意x成立，代入可求a，然后求出函数的定义域即可求解b

（2）利用函数的单调性的定义直接进行判断即可

（1）f(x)=lg

1+ax

1+2x，x∈（-b，b）是奇函数，

等价于对于任意-b＜x＜b都有

f(-x)=-f(x)(1)

1+ax

1+2x＞0(2)成立，（1）

式即为 lg

1-ax

1-2x=-lg

1+ax

1+2x=lg

1+2x

1+ax．

∴[1-ax/1-2x=

1+2x

1+ax]，即a²x²=4x²，

此式对于任意x∈（-b，b）都成立等价于a²=4，

因为a≠2，所以a=-2，所以f(x)=lg

1-2x

1+2x；

代入（2）式得：[1-2x/1+2x＞0，

即-

1

2＜x＜

1

2]对于任意x∈（-b，b）都成立，

相当于-

1

2≤-b＜b≤

1

2，从而b的取值范围为(0，

1

2]；

（2）对于任意x₁，x₂∈（-b，b），且x₁＜x₂，由b∈(0，

1

2]，

得-

1

2≤-b＜b≤

1

2，所以0＜1-2x₂＜1-2x₁，0＜1+2x₁＜1+2x₂，

从而f（x₂）-f（x₁）=lg

1-2x2

1+2x2-lg

1-2x1

1+2x1

=lg

(1-2x2)(1+2x1)

(1+2x2)(1-2x1)＜lg1=0，

因此f（x）在（-b，b）是减函数；

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评： 本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义并能灵活利用