Question

A，B是抛物线y2=4ax（a＞0）上的两动点，且OA⊥OB，OP⊥AB于P，求动点P的轨迹．

Answer 1

解题思路：设出P的坐标，可得直线AB的方程，与抛物线联立，利用韦达定理，结合垂直关系，化简，即可得到结论．

设P（x₀，y₀），则k_OP=

y0

x0，k_AB=-

x0

y0，直线AB方程是y=-

x0

y0（x-x₀）+y₀．

由y²=4ax可得x=

y2

4a，将其代入上式，整理得

x₀y²-（4ay₀）y-4ay₀²-4ax₀²=0．①

此方程的两根y₁、y₂分别是A、B两点的纵坐标．

根据韦达定理得，由①可得y₁•y₂=

−4a(x02+y02)

x0，

又∵A、B在抛物线上，∴A（

y12

4a，y₁）、B（

y22

4a，y₂）．

∵OA⊥OB，∴k_OA•k_OB=-1．

∴

4a

y1•

4a

y2=-1．

∴y₁y₂=-16p²．

∴

4a(x02+y02)

x0=16p²．

化简得x₀²+y₀²-4ax₀=0，即x²+y²-4ax=0（除去原点）为所求．

点评：

本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．