Question

分别以平行四边形ABCD的边向外作四个正方形.求证,这四个正方形的中心是某个正方形的顶点 即求证EFGH为正

Answer 1

MNPQ是中点.设MB＝a﹙向量﹚MF＝a'HC＝bHG＝b'

则a²＝a'²,b²＝b'²,aa'＝bb'＝0, ab＝a'b',a'b＝-ab'﹙*﹚

FG＝-a'+a+b+b',GH＝-b'+b-a+a'HE＝a'-a-b-b'＝-FG

注意﹙*﹚容易计算FG²＝GH²,FG•GH＝0

∵HE＝GFEFGH一对对边平行相等∴ EFGH为平行四边形.

∵FG²＝GH²EFGH一对邻边相等∴ EFGH为菱形.

∵ FG•GH＝0EFGH一对邻边互相垂直∴ EFGH为正方形