Question

（2010•河西区一模）已知数列{an}中，a1=1，且点P（an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上．

Answer 1

解题思路：（1）把点P代入直线方程，可得a_n+1-a_n=1进而判断数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列数列{a_n}的通项公式可得．

（2）分别表示出f（n）和f（n+1），通过f（n+1）-f（n）＞0判断f（n）单调递增，故f（n）的最小值是

f(2)＝

7

12

（3）把（1）中的a_n代入求得b_n，进而求得

S

n

−

S

n−1

＝

1

n

(n≥2)

最后（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=nS_n-n=n（S_n-1），判断存在关于n的整式g（x）=n．

（1）由点P（a_n，a_n+1）在直线x-y+1=0上，

即a_n+1-a_n=1，且a₁=1，数列{a_n}是以1为首项，

1为公差的等差数列a_n=1+（n-1）•1=n（n≥2），

a₁=1同样满足，所以a_n=n

（2）f(n)＝

1

n+1+

1

n+2+…+

1

2n

f(n+1)＝

1

n+2+

1

n+3+…+

1

2n+2

f(n+1)−f(n)＝

1

2n+1+

1

2n+2−

1

n+1＞

1

2n+2

1

2n+2−

1

n+1＝0

所以f（n）是单调递增，故f（n）的最小值是f(2)＝

7

12

（3）bn＝

1

n，可得Sn＝1+

1

2+

1

3++

1

n，

Sn−Sn−1＝

1

n(n≥2)

∴nS_n-（n-1）S_n-1=S_n-1+1，

∴（n-1）S_n-1-（n-2）S_n-2=S_n-2+1

…

2S₂-S₁=S₁+1

∴nS_n-S₁=S₁+S₂+S₃+…+S_n-1+n-1

∴S₁+S₂+S₃+…+S_n-1=nS_n-n=n（S_n-1），n≥2

∴g（n）=n

故存在关于n的整式g（x）=n，

使得对于一切不小于2的自然数n恒成立．

点评：

本题考点： 等差数列的通项公式；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的通项公式．即数列与不等式相结合的问题考查，考查了学生综合思维能力．