如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC边上的一个动点

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  • 解题思路:(1)由比例线段可知,我们需要证明△ADC∽△EGC,由两个角对应相等即可证得;

    (2)由矩形的判定定理可知,四边形AFEG为矩形,根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD,从而不难得到结论;

    (3)是,利用相似三角形的性质即可求得.

    (1)在△ADC和△EGC中,

    ∵AD是BC边上的高,EG⊥AC,

    ∴∠ADC=∠EGC,∠C=∠C,

    ∴△ADC∽△EGC.

    ∴[EG/AD=

    CG

    CD].(3分)

    (2)FD与DG垂直.(4分)

    证明如下:

    在四边形AFEG中,

    ∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°,

    ∴四边形AFEG为矩形.

    ∴AF=EG.

    ∵[EG/AD=

    CG

    CD],

    ∴[AF/AD=

    CG

    CD].(6分)

    ∵AD是BC边上的高,

    ∴AD⊥BC.

    ∴∠FAD=∠C.

    ∴△AFD∽△CGD.

    ∴∠ADF=∠CDG.(8分)

    ∵∠CDG+∠ADG=90°,

    ∴∠ADF+∠ADG=90°.

    即∠FDG=90°.

    ∴FD⊥DG.(10分)

    (3)当AB=AC时,△FDG为等腰直角三角形,理由如下:

    ∵AB=AC,∠BAC=90°,

    ∴∠B=∠C=45°,

    ∵AD⊥BC,

    ∴∠DAC=∠C,

    ∴AD=DC.

    ∵△AFD∽△CGD,

    FD

    GD=

    AD

    DC=1.

    ∴FD=DG.

    ∵∠FDG=90°,

    ∴△FDG为等腰直角三角形.(12分)

    点评:

    本题考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.

    考点点评: 此题考查了相似三角形的判定和性质,①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.相似三角形的对应边的比相等,对应角相等.