求下面曲面所围成的几何体的体积：x+y+z=3,x²+y²+z²=1,x=0,y=0,z=0.
这是在第一卦限内,在一个棱长为3的四面体内,挖去一个球心在原点,半径为1的(1/8)的球
体后余下得空间,其体积【锥体用直角坐标计算,球体用球坐标计算】
V=∫∫∫dxdydz-∫∫∫r²sinφdφdθ
=【0,3】∫ dx【0,3-x】∫ dy【0,3-x-y】∫dz -【π/2,0】∫ sinφdφ【0,π/2】∫dθ【0,1】 ∫ r²dr
=【0,3】∫ dx【0,3-x】∫(3-x-y)dy-(1/3)-【π/2,0】∫ sinφdφ【0,π/2】(1/3)∫dθ
=【0,3】∫dx(3y-xy-y²/2)【0,3-x】-【π/2,0】(π/6)∫sinφdφ
=【0,3】∫[3(3-x)-x(3-x)-(3-x)²/2]dx-(π/6)cosφ【π/2,0】
=【0,3】∫[9-3x-3x+x²-(1/2)(9-6x+x²)]dx
=【0,3】∫[9/2-3x+x²/2)]dx-(π/6)=[(9/2)x-3x²/2+x³/6]【0,3】-(π/6)
=27/2-27/2+27/6-π/6=9/2-π/6