由f'(x) = 3x²+n² > 0, 知f(x)单调递增.
而f(1/n²) = 1/n⁶ > 0 = f(a[n]), 于是a[n] < 1/n².
对n > 2, 进一步放缩:
a[n] < 1/n² < 1/(n(n-1)) = 1/(n-1)-1/n.
对n = 1, 考虑更精细的放缩:
此时f(x) = x³+x-1, 有f(3/4) = 11/64 > 0 = f(a[1]), 故a[1] < 3/4.
综上a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+...+a[n] < 3/4+1/4+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-1)-1/n) = 3/2-1/n < 3/2.
即所求证.
思路: 首先要对a[n]的阶有一个估计, 容易发现1/n²是一个不错的上界:
a[n] = (1-a[n]³)/n², 而误差项a[n]³/n²随着n的增大快速减小(是比1/n²高阶的无穷小).
然而直接放缩为1/n²的话, 有个著名的结果是1+1/2²+1/3²+...+1/n² → π²/6 > 3/2.
放缩过了, 因此尝试对较大的项a[1]给出更精细的估计, 来减小误差.
另一方面, 不能直接使用π²/6的结果, 所以改用可列项求和的放缩1/n² < 1/(n-1)-1/n.
不过对n = 2, 这一放缩误差偏大, 所以从n > 2开始.
以上结合起来得到上面的证法.
我没有想到非常不同的方法, 感觉上离不开对1/n²放缩, 毕竟a[n]与1/n²是充分接近的.
比如也可以对n > 1使用放缩: 1/n² < 1/(n²-1/4) = 1/(n-1/2)-1/(n+1/2).
结合a[1] < 3/4可以得到更好的上界17/12.