椭圆x2/8+y2/4=1的上下顶点分别为A、B,直线l:y=kx+4与椭圆交于M、N两点,求直线AN与BM交点纵坐标.

1个回答

  • 设直线AN与BM交点为T(t,m)

    A(0,2),B(0,-2),设M(x1,y1),N(x2,y2)

    K(AN)=K(AT)=(m-2)/t,K(BM)=K(BT)=(m+2)/t

    则:K(AN)/K(BM)=(m-2)/(m+2)

    设(m-2)²/(m+2)²=d

    则:K²(AN)/K²(BM)=d

    K(AN)=(y2-2)/x2,K(BM)=(y1+2)/x1

    K²(AN)=(y2-2)²/x2²,K²(BM)=(y1+2)²/x1²

    M,N在椭圆:x²/8+y²/4=1上,即:x²=8-2y²

    所以,x1²=8-2y1²,x2²=8-2y2²

    所以,K²(AN)=(y2-2)²/2(4-y2²),K²(BM)=(y1+2)²/2(4-y1²)

    整理得:K²(AN)=(2-y2)/2(2+y2),K²(BM)=(2+y1)/2(2-y1)

    则:K²(AN)/K²(BM)=(2-y2)(2-y1)/(2+y2)(2+y2)=d

    4-2(y1+y2)+y1y2=d[4+2(y1+y2)+y1y2]

    (d-1)y1y2+2(d+1)(y1+y2)+4d-4=0 ①

    直线l:y=kx+4

    k=0时,L:y=4,与椭圆无交点,所以,k≠0

    即:x=(y-4)/k

    代入椭圆:x²/8+y²/4=1上,即:x²=8-2y²得:(y-4)²/k²=8-2y²

    整理得:(1/k²+2)y²-8y/k²+16/k²-8=0

    y1y2=(16/k²-8)/(1/k²+2),y1+y2=(8/k²)/(1/k²+2)

    代入①得:(d-1)(16/k²-8)/(1/k²+2)+2(d+1)(8/k²)/(1/k²+2)+4d-4=0

    (d-1)(4/k²-2)/(1/k²+2)+2(d+1)(2/k²)/(1/k²+2)+d-1=0

    (d-1)(4/k²-2)+2(d+1)(2/k²)+(d-1)(1/k²+2)=0

    (9d-1)/k²=0

    所以,d=1/9

    即:(m-2)²/(m+2)²=1/9

    9(m-2)²=(m+2)²

    [3(m-2)+(m+2)][3(m-2)-(m+2)]=0

    (4m-4)(2m-8)=0

    (m-1)(m-4)=0

    所以,m=1或m=4

    所以,直线AN与BM交点的纵坐标为1或4

    ps:不知道题目的图是怎么画的,如果是AN与BM的交点在椭圆内,则纵坐标就是1;

    如果AN与BM的交点在椭圆外,则纵坐标就是4