Question

（2014•河南一模）在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an-an-1=n，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据已知等式得出a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，a_n-2-a_n-3=n-2，…，a₂-a₁=2，左右两边分别相加即可确定出数列{a_n}的通项公式a_n；

（Ⅱ）由通项公式a_n，确定出AB与cosC，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a+b的最大值，即可确定出三角形ABC周长的最大值．

（Ⅰ）在数列{a_n}中，a₁=1，

a_n-a_n-1=n，a_n-1-a_n-2=n-1，a_n-2-a_n-3=n-2，…，a₂-a₁=2，

相加得：a_n-a_n-1+a_n-1-a_n-2+a_n-2+a_n-3+…+a₂-a₁=n+n-1+n-2+…+2，

即a_n-a₁=

n(n+1)/2]-1，

则数列{a_n}的通项公式a_n=

n(n+1)

2；

（Ⅱ）在△ABC中，AB=c=a₃=6，cosC=[1

a2=

1/3]，

∴由余弦定理得：36=a²+b²-2abcosC=a²+b²-[2/3]ab=（a+b）²-[8/3]ab≥（a+b）²-[8/3]×

(a+b)2

4=[1/3]（a+b）²，

整理得：（a+b）²≤108，即a+b≤6

3，

则△ABC周长最大值为6+6

3．

点评：

本题考点： 正弦定理．

考点点评： 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及数列的递推，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．