Question

设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0的时候,f(x)>0,且f(2)=3.

Answer 1

(1) 不妨令x=0,y=0

代入得f(0)=2f(0）,f(0)=0;

令x=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0;

得f(x)=-f(-x)

所以为奇函数

(2)设0x1>0

且F(x1+x2)=f(x1)+f(x2)

因为f(x1)>0

所以F(x1+x2)>f(x2)

即F（x)在[0,正无穷)递增

由奇函数的性质可得

f(x)在（负无穷,0]递增

所以f(x)是一个增函数

至于最值

f(min)=f(-2)=-f(2)=-3

f(max)=f(4)=2f(2)=6

(3)这题不难,根据条件θ∈[0,π/2],你可以得出cosθ及cos2θ的取值范围,更具函数的奇偶性和单调性,应该不难得出结论,由于过程过长,我就不写了,你自己算算吧!