Question

正四棱锥S-ABCD内接于一个半径为R的球，那么这个正四棱锥体积的最大值为______．

Answer 1

解题思路：先设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正四棱锥的高为h=R+x

从而得出正四棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正四棱锥体积的最大值即可．

设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x

则：x2+(

2

2a) 2＝R 2

而正四棱锥的高为h=R+x

故正四棱锥体积为：

V（x）=[1/3×a2h=

1

3×a2(R+x)=

2

3(R 2−x 2)(R+x)

其中x∈（0，R）

∵

2

3(R 2−x 2)(R+x) ＝

1

3(2R−2x)(R+x)(R+x)≤

1

3×(

(2R−2x)+(R+x)+(R+x)

3)3=

64

81]R³
当且仅当x=[1/3R时，等号成立

那么这个正四棱锥体积的最大值为：

64

81]R³

故答案为：[64/81]R³

点评：

本题考点： 球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题主要考查了球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．