Question

证明V的两个子空间的并是V的一个子空间当且仅当其中的一个子空间包含在另一个子空间中.

Answer 1

设V1 包含于 V2

V1∪V2=V2 ,当然是子空间.

另一方面：若 V1∪V2是子空间

但无包含关系.则有 a∈V1但a不属于V2

b∈V2但b不属于V1

则有 a+b ∈ V1∪V2

情况1：若 a+b∈V1,则 b= -a+(a+b) ∈V1,与b不属于V1矛盾

情况2：若 a+b∈V2,则 a= -b+(a+b) ∈V2,与a不属于V2矛盾

无论怎么样都有矛盾

所以必有包含关系