解题思路:可由题意找到每年利润所构成的数列的递推公式为 an=an-1(1+25%)-200(n≥2)
⇒
a
n
=
5
4
a
n−1
−200
解法一:是构造新数列使其为等比数列,再利用等比数列通项公式求出新数列的通项,最后转变为数列{an} 的通项公式.
解法二:是采用迭代法,根据递推公式,一层层往下推,即用含an-1的式子表示an,含an-2的式子表示an-1含an-3的式子表示an-2…,直到推到a1,就可求出{an} 的通项公式.
解法一:设第n年终资金为an万元,由题意可得an=an−1(1+25%)−200(n≥2)⇒an=
5
4an−1−200,变形整理可得:an−800=
5
4(an−1−800),故{an-800}构成一个等比数列,a1=1000(1+25%)-200=1050,⇒a1-800=250,故an−800=250(
5
4)n−1⇒an=250(
5
4)n−1+800=200×(
5
4)n+800,
令an≥4000,得(
5
4)n≥16,两边取对数可得:nlg
5
4≥lg16⇒n≥
4lg2
lg5−2lg2=
4lg2
1−3lg2≈12,
故至少要12年才能达到目标.
解法二:此题在求通项公式时,也可采用迭代法,
如下:an=
5
4an−1−200=
5
4(
5
4an−2−200)−200=…=1000×(
5
4)n−200×[(
5
4)n−1+(
5
4)n−2+…+1]
=200×(
5
4)n+800;
其余同解法一
点评:
本题考点: 数列的应用.
考点点评: 本题考查了用数列只是解决实际问题,关键点是如何把实际问题转化为数列问题.