某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年年底需要从利润中取出资金200万元进行技术

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  • 解题思路:可由题意找到每年利润所构成的数列的递推公式为 an=an-1(1+25%)-200(n≥2)

    a

    n

    5

    4

    a

    n−1

    −200

    解法一:是构造新数列使其为等比数列,再利用等比数列通项公式求出新数列的通项,最后转变为数列{an} 的通项公式.

    解法二:是采用迭代法,根据递推公式,一层层往下推,即用含an-1的式子表示an,含an-2的式子表示an-1含an-3的式子表示an-2…,直到推到a1,就可求出{an} 的通项公式.

    解法一:设第n年终资金为an万元,由题意可得an=an−1(1+25%)−200(n≥2)⇒an=

    5

    4an−1−200,变形整理可得:an−800=

    5

    4(an−1−800),故{an-800}构成一个等比数列,a1=1000(1+25%)-200=1050,⇒a1-800=250,故an−800=250(

    5

    4)n−1⇒an=250(

    5

    4)n−1+800=200×(

    5

    4)n+800,

    令an≥4000,得(

    5

    4)n≥16,两边取对数可得:nlg

    5

    4≥lg16⇒n≥

    4lg2

    lg5−2lg2=

    4lg2

    1−3lg2≈12,

    故至少要12年才能达到目标.

    解法二:此题在求通项公式时,也可采用迭代法,

    如下:an=

    5

    4an−1−200=

    5

    4(

    5

    4an−2−200)−200=…=1000×(

    5

    4)n−200×[(

    5

    4)n−1+(

    5

    4)n−2+…+1]

    =200×(

    5

    4)n+800;

    其余同解法一

    点评:

    本题考点: 数列的应用.

    考点点评: 本题考查了用数列只是解决实际问题,关键点是如何把实际问题转化为数列问题.