解题思路：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2-2ax-3，利用f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，可得3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；
（2）依题意x=-[1/3]是f（x）的一个极值点，所以
f′(−
1
3
)＝0
，从而可得f（x）=x3-4x2-3x，利用导数确定函数的单调性与极值，从而可求f（x）在[1，4]上的最大值；
（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根，即方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，从而可求实数b的取值范围
（1）求导函数，可得f′（x）=3x2-2ax-3
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即3x2-2ax-3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
则必有[a/3≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0（5分）
（2）依题意x=-
1
3]是f（x）的一个极值点，∴f′(−
1
3)＝0
即[1/3+
2
3a−3＝0
∴a=4，∴f（x）=x3-4x2-3x（6分）
令f′（x）=3x2-8x-3=0，得x1＝−
1
3，x2＝3则
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x 1 （1，3） 3 （3，4） 4
f′（x） - 0 +
f（x） -6 -18 -12∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6（10分）
（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
即方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根（12分）
∴x3-4x2-3x-bx=0恰有3个不等实根
∵x=0是其中一个根，
∴方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，
∴
△＝16+4(3+b)＞0
−3−b≠0]
∴b＞-7，且b≠-3（14分）
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查函数图象的交点问题，解题的关键是将函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，转化为方程x3-4x2-3x=bx恰有3个不等实根．